Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

14682

2024-01-16T17:48:19Z

Andreica Dragos:

'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

'''Enunț:'''
''Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.''

''Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.''

'''Soluție:'''
Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, (1),iar <math>\triangle AMC</math> este echilateral AM = AC = CM, (2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

14682

2024-01-16T17:48:04Z

Andreica Dragos:

'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

'''Enunț:'''
''Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.''

'''Soluție:'''
Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, (1),iar <math>\triangle AMC</math> este echilateral AM = AC = CM, (2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

14682

2024-01-16T14:59:25Z

Andreica Dragos:

'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

'''Enunț:'''
''Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.'''

'''Soluție:'''
Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, (1),iar <math>\triangle AMC</math> este echilateral AM = AC = CM, (2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

14682

2024-01-16T14:58:55Z

Andreica Dragos:

'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

'''Enunț:'''
''Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.'''

'''Soluție:'''
Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, (1),iar <math>\triangle AMC</math>, este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

14682

2024-01-16T14:57:23Z

Andreica Dragos:

'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

'''Enunț:'''
''Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.'''

'''Soluție:'''
Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar <math>\triangle AMC</math>(1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

14682

2024-01-16T14:54:00Z

Andreica Dragos: Pagină nouă: '''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' '''Enunț:''' Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC. Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC. '''Soluție:''' Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x...

'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

'''Enunț:'''

Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.

'''Soluție:'''

Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar <math>\triangle AMC</math>(1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

Gazeta Matematică

2024-01-16T14:53:40Z

Andreica Dragos:

Această pagină conține o listă cu numerele revistei ''[https://gmb.ssmr.ro/ Gazeta Matematică]'' care conțin articole/probleme cu autori membri ai [https://ssmr.cunbm.utcluj.ro/ Filialei Maramureș] a [https://ssmr.ro/ Societății de Științe Matematice din România].
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
!Anul
!Numărul
!Numărul problemei
!Clasa
!Domeniu
|-
|rowspan="13" |2022
|rowspan="3"|1
| [[28247]]
|11
|Matrice
|-
| [[28250]]
|12
|integrala Riemann
|-
| [[28251]]
|12
|integrala Riemann
|-
|2
| [[S:L22.58]]
|10
| ecuație cu logaritmi
|-
|4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2022|link]]
| [[28315]]
|10
|numere complexe
|-
|5
| [[28338]]
|10
|numere complexe
afixe
|-
|6-7-8
| [[28354]]
|9
|vectori
|-
|rowspan="4" |10 - [[Gazeta Matematică nr 10 2022|link]]
| [[28437]]
|11
|șir recurent
|-
|[[E:16379]]
|5
|numere naturale
|-
|[[E:16380]]
|5
|puteri
|-
|[[E:16382]]
|5
|puteri
|-
|rowspan="2"|11
| [[E:16407]]
|5
|cub perfect
|
|-
| [[28450]]
|9
|progresii aritmetice
|-
|rowspan = "7" |2021
|rowspan = "3" |6-7-8 - [[Gazeta Matematică nr 6-7-8 din 2021|link]]
|[[E:15990]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15991]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15992]]
|5
|numere naturale
|-
|rowspan= "3" | 11
|[[28203]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L21.287]]
|9
|puteri
|-
|[[S:E21.313]]
|8
|ecuație
|-
|rowspan= "1" | 12
|[[28208]]
|9
|vectori
|-
|rowspan ="4"|2020
|rowspan ="3"| 4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2020|link]]
|[[15698|E:15698]]
|6
|pătrate perfecte
|-
|[[E:15694]]
|5
|teorema împărțirii cu rest
|-
|[[E:15695]]
|5
|numere naturale
|-
|5
|[[E:15714]]
|6
|divizibilitate
probabilitate
|-
|rowspan="3" |2018
|rowspan="3" |4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2018|link]]
| [[S:E18.128]]
|
|
|-
|[[S:E18.131]]
|
|
|-
| [[S:E18.131]]
|
|
|-
|2017
|6-7-8
|[[27401]]
|10
|inegalitate
|-
|rowspan="10" |2015
|rowspan="2"|1
|[[27024]]
|12
|
|-
|[[27020]]
|10
|coeficienți binomiali
|-
|2 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27036]]
|11
|ecuații funcționale
|-
|3 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27024]]
|12
|ecuații funcționale
|-
|rowspan="6"|9
|[[E:14892]]
|8
|patrulater inscriptibil
|-
|[[S:E15.208]]
|5
|sumă de numere consecutive
|-
|[[S:E15.239]]
|8
|Teorema lui Pitagora
|-
|[[S:L15.236]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L15.231]]
|12
|limita unui șir
|-
|[[S:L15.228]]
|11
|limita unui șir
|-
|-
|2014
|1
|[[14682]]
|6
|Geometrie
|-
|rowspan="2"| 2013
|rowspan="2"|1
|[[26713]]
|11
|șiruri, limită
|-
|E:[[14440]]
|5
|pătrat perfect
|-
|rowspan="4"| 2012
|rowspan="2"|4
|[[E:14336]]
|
|ecuație funcțională
|-
|[[E:14331]]
| 7 & 8
|numere prime
|-
|rowspan="2"|9 - [[Gazeta Matematică nr 9 2012|link]]
|E:[[14380]]
|5
|numere naturale
|-
|[[14383|E:14383]]
|6
|cmmdc & cmmmc
|-
|rowspan="2"| 2011
|rowspan="2"|7-8-9 - [[Gazeta Matematică nr 789 2011|link]]
|[[E:14223]]
|7
|rezolvarea triunghiului
|-
|[[E:14228]]
|7
|radicali
|}

14683

2024-01-16T14:50:53Z

Andreica Dragos:

14683

2024-01-16T14:33:13Z

Andreica Dragos:

14683

2024-01-16T14:28:27Z

Andreica Dragos:

Gazeta Matematică

2024-01-16T12:00:24Z

Andreica Dragos:

Această pagină conține o listă cu numerele revistei ''[https://gmb.ssmr.ro/ Gazeta Matematică]'' care conțin articole/probleme cu autori membri ai [https://ssmr.cunbm.utcluj.ro/ Filialei Maramureș] a [https://ssmr.ro/ Societății de Științe Matematice din România].
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
!Anul
!Numărul
!Numărul problemei
!Clasa
!Domeniu
|-
|rowspan="12" |2022
|rowspan="3"|1
| [[28247]]
|11
|Matrice
|-
| [[28250]]
|12
|integrala Riemann
|-
| [[28251]]
|12
|integrala Riemann
|-
|2
| [[S:L22.58]]
|10
| ecuație cu logaritmi
|-
|4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2022|link]]
| [[28315]]
|10
|numere complexe
|-
|5
| [[28338]]
|10
|numere complexe
afixe
|-
|6-7-8
| [[28354]]
|9
|vectori
|-
|rowspan="3" |10 - [[Gazeta Matematică nr 10 2022|link]]
| [[28437]]
|11
|șir recurent
|-
|[[E:16379]]
|5
|numere naturale
|-
|[[E:16380]]
|5
|puteri
|-
|rowspan="2"|11
| [[E:16407]]
|5
|cub perfect
|
|-
| [[28450]]
|9
|progresii aritmetice
|-
|rowspan = "7" |2021
|rowspan = "3" |6-7-8 - [[Gazeta Matematică nr 6-7-8 din 2021|link]]
|[[E:15990]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15991]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15992]]
|5
|numere naturale
|-
|rowspan= "3" | 11
|[[28203]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L21.287]]
|9
|puteri
|-
|[[S:E21.313]]
|8
|ecuație
|-
|rowspan= "1" | 12
|[[28208]]
|9
|vectori
|-
|rowspan ="4"|2020
|rowspan ="3"| 4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2020|link]]
|[[15698|E:15698]]
|6
|pătrate perfecte
|-
|[[E:15694]]
|5
|teorema împărțirii cu rest
|-
|[[E:15695]]
|5
|numere naturale
|-
|5
|[[E:15714]]
|6
|divizibilitate
probabilitate
|-
|rowspan="3" |2018
|rowspan="3" |4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2018|link]]
| [[S:E18.128]]
|
|
|-
|[[S:E18.131]]
|
|
|-
| [[S:E18.131]]
|
|
|-
|2017
|6-7-8
|[[27401]]
|10
|inegalitate
|-
|rowspan="10" |2015
|rowspan="2"|1
|[[27024]]
|12
|
|-
|[[27020]]
|10
|coeficienți binomiali
|-
|2 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27036]]
|11
|ecuații funcționale
|-
|3 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27024]]
|12
|ecuații funcționale
|-
|rowspan="6"|9
|[[E:14892]]
|8
|patrulater inscriptibil
|-
|[[S:E15.208]]
|5
|sumă de numere consecutive
|-
|[[S:E15.239]]
|8
|Teorema lui Pitagora
|-
|[[S:L15.236]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L15.231]]
|12
|limita unui șir
|-
|[[S:L15.228]]
|11
|limita unui șir
|-
|-
|2014
|1
|[[14683]]
|
|algebră
|-
|rowspan="2"| 2013
|rowspan="2"|1
|[[26713]]
|11
|șiruri, limită
|-
|E:[[14440]]
|5
|pătrat perfect
|-
|rowspan="4"| 2012
|rowspan="2"|4
|[[E:14336]]
|
|ecuație funcțională
|-
|[[E:14331]]
| 7 & 8
|numere prime
|-
|rowspan="2"|9 - [[Gazeta Matematică nr 9 2012|link]]
|E:[[14380]]
|5
|numere naturale
|-
|[[14383|E:14383]]
|6
|cmmdc & cmmmc
|-
|rowspan="2"| 2011
|rowspan="2"|7-8-9 - [[Gazeta Matematică nr 789 2011|link]]
|[[E:14223]]
|7
|rezolvarea triunghiului
|-
|[[E:14228]]
|7
|radicali
|}

14683

2024-01-16T11:58:54Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

'''Enunț:'''

Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă <math>2^x + 3^y = 2^y + 3^x</math>, atunci x = y.

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>. Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:58:32Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

'''Enunț'''
Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă <math>2^x + 3^y = 2^y + 3^x</math>, atunci x = y.

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>. Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:55:48Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>.

Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals.

Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:52:42Z

Andreica Dragos:

14683

2024-01-16T11:46:35Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:45:24Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:44:43Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:43:55Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie <math>(2^{x-y} - 1) \cdot (3^{x-y} - 1)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:43:10Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:40:49Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie 2**x - 2**y = 3**x - 3**y. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) < 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:40:20Z

Andreica Dragos:

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie 2**x - 2**y = 3**x - 3**y. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) < 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

14683

2024-01-16T11:40:00Z

Andreica Dragos: Pagină nouă: '''14683 (Răzvan Ceuca)''' ''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile: <ol style="list-style-type:lower-roman"> <li><math>AB = BA;</math></li> <li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li> </ol> '''Soluție:''' Relația din enunț se mai...

'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Relația din enunț se mai poate scrie 2**x - 2**y = 3**x - 3**y. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

Dacă x > y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) < 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

Gazeta Matematică

2024-01-16T11:32:14Z

Andreica Dragos:

Această pagină conține o listă cu numerele revistei ''[https://gmb.ssmr.ro/ Gazeta Matematică]'' care conțin articole/probleme cu autori membri ai [https://ssmr.cunbm.utcluj.ro/ Filialei Maramureș] a [https://ssmr.ro/ Societății de Științe Matematice din România].
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
!Anul
!Numărul
!Numărul problemei
!Clasa
!Domeniu
|-
|rowspan="12" |2022
|rowspan="3"|1
| [[28247]]
|11
|Matrice
|-
| [[28250]]
|12
|integrala Riemann
|-
| [[28251]]
|12
|integrala Riemann
|-
|2
| [[S:L22.58]]
|10
| ecuație cu logaritmi
|-
|4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2022|link]]
| [[28315]]
|10
|numere complexe
|-
|5
| [[28338]]
|10
|numere complexe
afixe
|-
|6-7-8
| [[28354]]
|9
|vectori
|-
|rowspan="3" |10 - [[Gazeta Matematică nr 10 2022|link]]
| [[28437]]
|11
|șir recurent
|-
|[[E:16379]]
|5
|numere naturale
|-
|[[E:16380]]
|5
|puteri
|-
|rowspan="2"|11
| [[E:16407]]
|5
|cub perfect
|
|-
| [[28450]]
|9
|progresii aritmetice
|-
|rowspan = "7" |2021
|rowspan = "3" |6-7-8 - [[Gazeta Matematică nr 6-7-8 din 2021|link]]
|[[E:15990]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15991]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15992]]
|5
|numere naturale
|-
|rowspan= "3" | 11
|[[28203]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L21.287]]
|9
|puteri
|-
|[[S:E21.313]]
|8
|ecuație
|-
|rowspan= "1" | 12
|[[28208]]
|9
|vectori
|-
|rowspan ="4"|2020
|rowspan ="3"| 4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2020|link]]
|[[15698|E:15698]]
|6
|pătrate perfecte
|-
|[[E:15694]]
|5
|teorema împărțirii cu rest
|-
|[[E:15695]]
|5
|numere naturale
|-
|5
|[[E:15714]]
|6
|divizibilitate
probabilitate
|-
|rowspan="3" |2018
|rowspan="3" |4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2018|link]]
| [[S:E18.128]]
|
|
|-
|[[S:E18.131]]
|
|
|-
| [[S:E18.131]]
|
|
|-
|2017
|6-7-8
|[[27401]]
|10
|inegalitate
|-
|rowspan="10" |2015
|rowspan="2"|1
|[[27024]]
|12
|
|-
|[[27020]]
|10
|coeficienți binomiali
|-
|2 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27036]]
|11
|ecuații funcționale
|-
|3 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27024]]
|12
|ecuații funcționale
|-
|rowspan="6"|9
|[[E:14892]]
|8
|patrulater inscriptibil
|-
|[[S:E15.208]]
|5
|sumă de numere consecutive
|-
|[[S:E15.239]]
|8
|Teorema lui Pitagora
|-
|[[S:L15.236]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L15.231]]
|12
|limita unui șir
|-
|[[S:L15.228]]
|11
|limita unui șir
|-
|-
|2014
|1
|[[14683]]
|
|geometrie
|-
|rowspan="2"| 2013
|rowspan="2"|1
|[[26713]]
|11
|șiruri, limită
|-
|E:[[14440]]
|5
|pătrat perfect
|-
|rowspan="4"| 2012
|rowspan="2"|4
|[[E:14336]]
|
|ecuație funcțională
|-
|[[E:14331]]
| 7 & 8
|numere prime
|-
|rowspan="2"|9 - [[Gazeta Matematică nr 9 2012|link]]
|E:[[14380]]
|5
|numere naturale
|-
|[[14383|E:14383]]
|6
|cmmdc & cmmmc
|-
|rowspan="2"| 2011
|rowspan="2"|7-8-9 - [[Gazeta Matematică nr 789 2011|link]]
|[[E:14223]]
|7
|rezolvarea triunghiului
|-
|[[E:14228]]
|7
|radicali
|}