Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

Probleme speciale

2023-01-05T11:01:15Z

Adrian.Petrovan: Pagină nouă: ...

...

Gazeta Matematica nr 1/ 2019

2022-12-22T04:50:28Z

Adrian.Petrovan:

[[Problema 1]]

[[Problema 2]]

[[Problema 3]]

Gazeta Matematica nr 1/ 2019

2022-12-22T04:50:07Z

Adrian.Petrovan:

[[Problema 1]]

[[Problema 2]]

Problema 3

Main Page

2022-12-21T14:54:18Z

Adrian.Petrovan:

<strong>MediaWiki has been installed.</strong>

Consult the [[mediawikiwiki:Special:MyLanguage/Help:Contents|User's Guide]] for information on using the wiki software.

== Getting started ==
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings Configuration settings list]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki release mailing list]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources Localise MediaWiki for your language]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam Learn how to combat spam on your wiki]

Gazeta Matematica nr 1/ 2019

2022-12-21T14:51:21Z

Adrian.Petrovan:

[[Problema 1]]

[[Problema 2]]

Problema 2

2022-12-21T14:50:42Z

Adrian.Petrovan: Created page with "Category:Gazeta Matematica nr.1/2019 ==== Autori ==== * Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara * Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București === Enunț === &emsp;&emsp;Determinați toate numerele naturale <math>n \ge 3</math> pentru care există <math>a_1, a_2, . . . ,a_{n+2}</math> numere reale, astfel încât <math>a_{n+1} = a_1</math>, <math>a_{n+2} = a_2</math> și <math>a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}</math>, pentru <math>i =..."

[[Category:Gazeta Matematica nr.1/2019]]
==== Autori ====
* Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara
* Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București

=== Enunț ===
&emsp;&emsp;Determinați toate numerele naturale <math>n \ge 3</math> pentru care există <math>a_1, a_2, . . . ,a_{n+2}</math> numere reale, astfel încât <math>a_{n+1} = a_1</math>, <math>a_{n+2} = a_2</math> și <math>a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}</math>, pentru <math>i = 1,2,...,n</math>.

=== Soluție ===
&emsp;&emsp;Vom prezenta o soluție asemănătoare cu cea dată în concurs de ''Edis'', ''Ciprian'' și ''loan''. Vom arăta că numerele căutate sunt multiplii lui 3. Să observăm de la început că putem prelungi șirul la unul infinit, periodic de perioadă <math>n</math>.<br/>
&emsp;&emsp;Dacă <math>n</math> este divizibil cu 3, atunci o soluție este<br/>
<div style="text-align: center;"><math>(a_1,a_2,...) = (-1,-1,2,-1,-1,2,...)</math></div>.
&emsp;&emsp;Nu există în șir un termen <math>a_i = 0</math>. Altfel, începând cu rangul <math>i + 2</math> șirul este strict crescător (se demonstrează ușor prin inducție), contrazicând periodicitatea. Începând cu termenul <math>a_i+1</math>, sirul este <math>(1, 1,2,3, 7, 22, . . )</math>.<br/>
&emsp;&emsp;Nu există doi termeni consecutivi <math>a_i</math> și <math>a_{i+1}</math> din șir care să fie strict pozitivi. Altfel, <math>a_i a_{i+1} +1 = a_{i+2} > 1</math> și prin inducție se arată că (începând cu <math>a_{i+3}</math>) șirul este strict crescător, contrazicând periodicitatea.<br/>
&emsp;&emsp;Este clar că după doi termeni consecutivi negativi <math>a_i</math> și <math>a_{i+1}</math> urmează un termen pozitiv: <math>a_{i+2} = a_i a_{i+1}+1 > 1 > 0</math>.<br/>
&emsp;&emsp;Nu este posibil ca termenii șirului să alterneze in semn. Presupunem că <math>a_i</math> este negativ, <math>a_{i+1}</math> pozitiv, <math>a_{i+2}</math> este negativ iar <math>a_{i+3}</math> din nou pozitiv. Atunci <math>a_i a_{i+1}+1 = a_{i+2} < 0 < a_{i+3} = a_{i+1}a_{i+2}+1</math>. Deoarece <math>a_{i+1} > 0</math> rezultă că <math>a_i < a_{i+2}</math>. Am arătat că termenii negativi formează un subșir strict crescător, ceea ce este din nou o contradicție.<br/>
&emsp;&emsp;A mai rămas doar un singur caz de studiat: există doi termeni consecutivi negativi în șir. Presupunem că <math>a_i</math> și <math>a_{i+1}</math> sunt strict negativi. Atunci <math>a_{i+2} = a_i a_{i+1} + 1 > 1</math>. Evident numărul <math>a_{i+3}</math> trebuie să fie negativ. Arătăm că <math>a_{i+4}</math> trebuie să fie tot negativ. Observăm mai întâi că, deoarece <math>a_{i+3}</math> este negativ, avem <math>a_{i+4} = a_{i+2} a_{i+3} + 1 < 1 < a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}</math>. De aici obținem
<div style="text-align: center;"><math>a_{i+5}-a_{i+4} = (a_{i+3} a_{i+4} + 1) - (a_{i+2} a_{i+3} + 1) = a_{i+3}(a_{i+4}-a_{i+2}) > 0</math>,</div>
și deci <math>a_{i+5} > a_{i+4}</math>. Cum nu pot exista doi termeni consecutivi strict pozitivi, rezultă că <math>a_{i+4}</math> trebuie să fie negativ.<br/>
&emsp;&emsp;Astfel <math>a_{i+3}</math> și <math>a_{i+4}</math> sunt negativi iar <math>a_{i+5}</math> este pozitiv, și deci după doi termeni negativi și unul pozitiv, următorii trei vor repeta aceeași ordine a semnelor. În concluzie <math>n</math> trebuie să fie multiplu de trei.<br/>

Gazeta Matematica nr 1/ 2019

2022-12-21T14:50:15Z

Adrian.Petrovan:

Problema 1

[[Problema 2]]

Problema 1

2022-12-21T14:48:46Z

Adrian.Petrovan: Created page with " ==== Autori ==== * Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara * Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București === Enunț === Fie Γ cercul circumscris unui triunghi ascuțitunghic ''ABC''. Punctele ''D'' și ''E'' se află pe segmentele ''AB'' și respectiv ''AC'', astfel încât ''AD'' = ''AE''.Mediatoarele segmentelor ''BD'' și ''CE'' intersectează arcele mici ''AB'' și ''AC'' ale cercului Γ în punctele ''F'' și respect..."

==== Autori ====
* Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara
* Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București

=== Enunț ===
Fie Γ cercul circumscris unui triunghi ascuțitunghic ''ABC''. Punctele ''D'' și ''E'' se află pe segmentele ''AB'' și respectiv ''AC'', astfel încât ''AD'' = ''AE''.Mediatoarele segmentelor ''BD'' și ''CE'' intersectează arcele mici ''AB'' și ''AC'' ale cercului Γ în punctele ''F'' și respectiv ''G''. Demonstrați că dreptele ''DE'' și ''FG'' sunt paralele sau coincid.
[[File:Cerc.jpg|200px|thumb|left|Diagrama]]
=== Soluție ===
Vom prezenta soluția dată în concurs de ''Edis''.
Pe arcele mici <math>\overset{\frown}{AB}</math> și respectiv <math>\overset{\frown}{AC}</math> ale cercului Γ considerăm punctele ''X'' și respectiv ''Y'', astfel incât ''AX = AD = AE = AY''.<br/>
  Deoarece <math>\measuredangle FXA = 180^\circ - \measuredangle FCA = 180^\circ - \measuredangle FBD = 180^\circ - \measuredangle FDB = \measuredangle FDA</math> și ''AX'' = ''AD'', rezultă ușor că punctul ''X'' este simetricul
lui ''D'' față de dreapta ''FA''. De aici rezultă că ''FX = FD = FB''.<br/>
  Fie <math>G^\prime</math> al doilea punct de intersecție al dreptei ''XE'' cu cercul Γ.<br/>
Deoarece ''AX = AE'' iar patrulaterul <math>XAG^\prime C</math> este inscriptibil, rezultă că <math>\measuredangle XEA = 90^\circ - \dfrac{1}{2} \measuredangle XAE = 90^\circ -\dfrac{1}{2}\measuredangle XAC = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle XG^\prime C</math>.
Obținem astfel că <math>\measuredangle G^\prime EC$ = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle EG^\prime C</math> și deci <math>EG^\prime = CG^\prime</math>, adică <math>G^\prime = G</math>. Așadar punctele ''X'',''E'' și ''G'' sunt coliniare. Analog se arată că ''Y'', ''D'' și ''F'' sunt coliniare.<br/>
  Fie <math>\{O\} = EX \cap DY = GE \cap FD </math>. Atunci <math>\measuredangle OED
= \dfrac{1}{2}\measuredangle XAD = \measuredangle FAD = \measuredangle FGB</math>. Din ''FB = FX'' obținem <math>\measuredangle FGB = \measuredangle FXB = \measuredangle FBX = \measuredangle EGF</math>. În final, avem <math>\measuredangle OED = \measuredangle FGB = \measuredangle OGF</math> și deci dreptele ''DE'' și ''FG'' sunt paralele sau coincid, ceea ce trebuia demonstrat.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Ionuț'' a folosit o inversiune de centru ''A'' și putere arbitrară și a demonstrat că centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor <math>AD^\prime E^\prime</math> și <math>AF^\prime G^\prime</math> se află pe dreapta ''AX'', unde <math>\{X\} = F^\prime D^\prime AG^\prime E^\prime</math> (am notat cu <math>^\prime</math> transformatele prin inversiune).<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Ciprian'' a arătat că arcele <math>\overset{\frown}{NF}</math> și <math>\overset{\frown}{MG}</math> sunt egale, unde ''N'' și ''M'' sunt mijloacele arcelor mici <math>\overset{\frown}{AB}</math> și respectiv <math>\overset{\frown}{AC}</math>.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Antonie'' a demonstrat că locul geometric al lui <math>\{P\} = SF \cap GT</math>, când ''D'' variază, se află pe dreapta paralelă la bisectoarea interioară a unghiului ''A'' și care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului ''ABC''. Aici am notat cu ''S'' și respectiv ''T'' mijloacele segmentelor ''BD'' și respectiv ''CE''.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Mihnea'' și ''Radu'' au folosit numere complexe.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;Echipa României a obținut 41 de puncte la această problemă. ''Mihnea'' a pierdut un punct din cauza unei greșeli minore la calculele cu numere complexe.

=== Enunț ===
&emsp;&emsp;Determinați toate numerele naturale <math>n \ge 3</math> pentru care există <math>a_1, a_2, . . . ,a_{n+2}</math> numere reale, astfel încât <math>a_{n+1} = a_1</math>, <math>a_{n+2} = a_2</math> și <math>a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}</math>, pentru <math>i = 1,2,...,n</math>.

=== Soluție ===
&emsp;&emsp;Vom prezenta o soluție asemănătoare cu cea dată în concurs de ''Edis'', ''Ciprian'' și ''loan''. Vom arăta că numerele căutate sunt multiplii lui 3. Să observăm de la început că putem prelungi șirul la unul infinit, periodic de perioadă <math>n</math>.<br/>
&emsp;&emsp;Dacă <math>n</math> este divizibil cu 3, atunci o soluție este<br/>
<div style="text-align: center;"><math>(a_1,a_2,...) = (-1,-1,2,-1,-1,2,...)</math></div>.
&emsp;&emsp;Nu există în șir un termen <math>a_i = 0</math>. Altfel, începând cu rangul <math>i + 2</math> șirul este strict crescător (se demonstrează ușor prin inducție), contrazicând periodicitatea. Începând cu termenul <math>a_i+1</math>, sirul este <math>(1, 1,2,3, 7, 22, . . )</math>.<br/>

[[Category:Gazeta Matematica nr.1/2019]]

Gazeta Matematica nr 1/ 2019

2022-12-21T14:47:50Z

Adrian.Petrovan: Created page with "Problema 1"

Problema 1

Main Page

2022-12-21T09:42:17Z

Adrian.Petrovan:

<math display="inline">{dy \over dx} + {dy \over dx} </math><strong>MediaWiki has been installed.</strong><syntaxhighlight lang="python3" line="1">
def sequence_generator_unique(instance_len, ploidy, no_subsets):
sequence = np.zeros((ploidy, instance_len), dtype="intp")
subsets = np.random.permutation(no_subsets)
for p in range(ploidy):
for i in range(no_subsets):
sequence[p][i] = subsets[i]
for i in range(no_subsets,instance_len):
sequence[p][i] = np.random.randint(no_subsets)
return sequence
</syntaxhighlight>

Consult the [[mediawikiwiki:Special:MyLanguage/Help:Contents|User's Guide]] for information on using the wiki software.

== Getting started ==
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings Configuration settings list]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki release mailing list]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources Localise MediaWiki for your language]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam Learn how to combat spam on your wiki]